Eratosthenes Berechnung des Erdumfangs s

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Wie der altgriechische Mathematiker Eratosthenes den Erdumfang berechnete (Video)

Ein interessantes Business Insider-Video zeigt, wie der antike griechische Mathematiker Eratosthenes vor über 2.000 Jahren den Erdumfang berechnete.
Mit einem Stab berechnete Eratosthenes, dass der Erdumfang ungefähr 40.030 km beträgt, eine Zahl, die Wissenschaftler Mitte des 20.
Eratosthenes, der Leiter der Bibliothek von Alexandria, hatte gehört, dass in Syene, einer Stadt südlich von Alexandria, zur Mittagszeit zur Sommersonnenwende keine vertikalen Schatten geworfen wurden. Die Sonne stand direkt über ihnen. Er fragte sich, ob das auch in Alexandria passierte.
Also pflanzte er am 21. Juni einen Stock direkt in die Erde und wartete, ob am Mittag ein Schatten geworfen würde. Tatsächlich gab es einen und er maß ungefähr 7 Grad.
Eratosthenes muss geglaubt haben, dass die Erdoberfläche gekrümmt ist, bevor er diesen Test durchführte. Dies ist wahrscheinlich der Grund, warum er bestätigen wollte, dass, wenn die Sonnenstrahlen zur gleichen Tageszeit im gleichen Winkel einfallen und ein Stock in Alexandria einen Schatten wirft, ein Stock in Syene jedoch nicht, dies bedeuten muss die Erdoberfläche ist gekrümmt.
Die Idee, dass die Erde eine Kugel ist, wurde erstmals um 500 v. Chr. Von einem anderen antiken griechischen Mathematiker, Pythagoras, eingeführt und etwa 200 Jahre später von Aristoteles bestätigt. So stellte sich Eratosthenes vor, den Umfang der gesamten Kugel abzuschätzen.
Basierend auf der Schattenlänge von 7 Grad in Alexandria und 0 Grad in Syene berechnete Eratosthenes, dass die beiden Städte auf der 360-Grad-Oberfläche der Erde 7 Grad voneinander entfernt sind. Dann heuerte er einen Mann an, der die Entfernung zwischen den beiden Städten abschritt und erfuhr, dass sie 5.000 Stadien voneinander entfernt waren, was etwa 800 Kilometern entspricht.
Eratosthenes fuhr dann fort, den Erdumfang zu bestimmen – 7,2 Grad ist 1/50 von 360 Grad, also 800 mal 50 entspricht 40.000 Kilometern. Auf diese Weise fand er mit nur einem Stock und seinem Gehirn den fast genauen Umfang des Planeten.


Wie Eratosthenes den Umfang der Erde berechnete

Ungefähr 200 Jahre v. Chr. Im antiken Griechenland waren Wissenschaftler damals davon überzeugt, dass die Kugelform der Erde und nicht eine flache Scheibe richtig war.

Pythagoras betrachtete eine Kreisperfektion als über jeder anderen und als solche passt es am besten, die Vorzüglichkeit der Welt zu beschreiben.

Aristoteles argumentierte in seinen philosophischen Überlegungen zur Theorie der fünf Elemente. Diese beschreiben alle physikalischen Zustände, die für sich betrachtet nach größtmöglicher Vollkommenheit, also nach einem Kreis, streben müssen.

Denn wenn während einer Sonnenfinsternis der kugelförmige Mond den Schatten auf die Erde wirft, muss das gleiche passieren, wenn er während einer Mondfinsternis die Plätze vertauscht und der Mond im Schatten der Erde steht. Die Beobachtung des Phänomens zeigt, dass der Schatten, der den Mond allmählich bedeckt, eine kugelförmige Form hat. Wenn also die Erde die Quelle dieses kugelförmigen Schattens ist, muss sie selbst kugelförmig sein. Ziemlich vernünftige und genaue Argumentation, rechts?

So war Eratosthenes damals von vielen Dingen überzeugt.

Aber wie groß bist du, meine Erde? Wie?

Es ist offensichtlich, dass man nicht einfach um die Erde gehen konnte, Schritte zählen und am Ende mit der durchschnittlichen Entfernung in einem multiplizieren, um den Erdumfang zu erhalten.

Als er die Sommersonnenwende in Alexandria beobachtete, beobachtete er mittags das Aufleuchten der Grube eines Brunnens und bemerkte, dass sie nicht ganz voll war. Auf der Unterseite war ein schwarzer Fleck, der nicht von der Sonne beleuchtet wurde.

Mit der Sonne genau über dem Kopf und der Annahme, dass ihre Strahlen parallel zueinander sind, war klar, dass sie nicht senkrecht zur Oberfläche stehen können, sondern in einem bestimmten Winkel geneigt sein müssen, um herauszufinden, worauf, er steckte ein gewöhnliches in einen Boden stecken und den Winkel zwischen ihm und seinem Schatten messen.

Später hat er gehört, dass jedes Jahr zur Sommersonnenwende die Sonnenstrahlen, die auf den Grund eines Brunnens in Syene fallen, seine gesamte Grube erleuchten. Diese Tatsache faszinierte ihn, weil dies bedeuten würde, dass die Sonnenstrahlen hier im Gegensatz zum Brunnen in Alexandria senkrecht fallen. Nur die Sphärizität der Erde könnte erklären, dass die parallel verlaufenden Sonnenstrahlen unter verschiedenen Winkeln gleichzeitig auf die Erdoberfläche fallen. Und wenn ja, muss die Erde gerundet werden. Wenn dem so ist, wie er gehört hat, wäre es der nächste Beweis für die Sphärizität der Erde.

Folglich beschloss er, diese Tatsache zu überprüfen, indem er am Tag der Sommersonnenwende dorthin ging, um dieses Phänomen zu beobachten. Es stellte sich heraus, dass es in Syene tatsächlich einfach keinen Schatten gab. Es profs die Kugelform der Erde.

Aber wie kommt man aus dieser Tatsache, um den Erdumfang zu berechnen?

Eratosthenes dachte folgendermaßen. Nun, der Winkelunterschied zwischen diesen beiden Städten beträgt 7,12 °, was 50,56-mal weniger als ein Vollkreis ist. Wenn man also die Entfernung von Alexandria nach Syene misst und mit diesem Betrag multipliziert, dann muss der Umfang der Erde sein!

Wie er die Entfernung x zwischen diesen Städten ermittelte, ist jedoch nicht ganz klar. Manche sagen, er habe das Wissen der Karawanen und die Tatsache, dass Kamele mit mehr oder weniger konstanter Geschwindigkeit reisen, genutzt. Andere sagen, dass er diese Distanz selbst gemessen hat oder jemanden beauftragt hat, dies für ihn zu tun. Was ich glaube ist, dass die Seele des Wissenschaftlers ihn zwingen musste, alle Daten, die in der Berechnung verwendet werden, irgendwie zu überprüfen, die nicht aus einer zuverlässigen Quelle stammen.

Jedenfalls erreichte er eine Distanz von 5000 Stadien, wobei einer 600 griechischen Fuß entspricht. Und hier haben wir ein wenig Verwirrung über das genaue Ergebnis, denn es war nicht überall in Griechenland gleich, nehmen wir das, was er wahrscheinlich verwendet hat, das sind 185 m. Das ist:


Die Epiphanie

Eratosthenes hatte gehört, dass in Syene, einer Stadt südlich von Alexandria, zur Mittagszeit zur Sommersonnenwende keine vertikalen Schatten geworfen wurden.

Anscheinend gab es in Syene einen Brunnen, dessen Boden zu diesem besonderen Zeitpunkt vollständig von der Sonne beleuchtet war, was darauf hindeutete, dass die Sonne direkt über ihnen stand.

Da hatte Eratosthenes eine Idee. Er würde gerne sehen, ob in Alexandria genau zur gleichen Zeit ein Stock einen Schatten wirft. Denn offensichtlich würde ein Stock keinen solchen Schatten werfen, wenn die Sonne direkt darüber wäre, das heißt, er würde nicht werfen einen Schatten in Syene am Mittag zur Sommersonnenwende.


Kapitel 4 LAB-Aktivität: Eratosthenes und der Erdumfang Antworten

Einführung

Eratosthenes, ein griechischer Geograph (ca. 276 bis 194 v. Chr.), machte eine überraschend genaue Schätzung des Erdumfangs. Die Legende besagt, dass Eratosthenes seinen Berechnungen einen tiefen vertikalen Brunnen in der Nähe von Syene in Südägypten zugrunde gelegt hat, der einmal im Jahr zur Mittagszeit vollständig von der Sonne beleuchtet wurde. Er argumentierte, dass die Sonne zu diesem Zeitpunkt direkt über dem Himmel stehen und ihre Strahlen direkt in den Brunnen scheinen musste. Unter Verwendung zweier Annahmen konnte Eratosthenes den Umfang der Erde messen: 1) die Erde ist rund und 2) die Sonnenstrahlen sind parallel. Seine Ergebnisse kamen zu dem Schluss, dass die Erde: 250.000 Stadien (ca. 46.250 km) war, ziemlich nahe an modernen Messungen.

Zweck
Um den Umfang eines Kreises zu berechnen, indem die gleiche Methodik verwendet wird, die Eratosthenes verwendet hat, um den Erdumfang zu berechnen, indem die Beziehung zwischen Bogenlänge, Radius und Winkelmessung abgeleitet wird.

Materialien
Bleistift
Zeichenfolge
Papier
Winkelmesser
Kompass
McDougal Littell: Lehrbuch der Erd- und Weltraumwissenschaften

Verfahren
Teil A: Siehe Seite 84 von McDougal Littell: Earth and Space Science Lehrbuch
Teil B: Siehe Seite 84-85 von McDougal Littell: Earth and Space Science Lehrbuch

Analyse und Schlussfolgerung (Teil A)

Tabelle 1
Verwendeter Winkel: 30°
Bogenlänge AB (cm): 4,1
Leitungslänge AC (cm): 7,2

1)
(Bogen AB)/Umfang = (benutzter Winkel)/(360°) 1/Umfang = (Bogen AB(360°) )/(benutzter Winkel)

Umfang = (4,1 cm (360°))/(30°) Umfang = 49,2 cm

Für den Kreisumfang wurde eine Abweichung von 3,984 cm zwischen den beiden Antworten ermittelt. Die standardisierte Umfangsgleichung ergab einen kleineren Wert als das Verhältnis (Bogenlänge x 360°)/Winkel. Die zweite Antwort war wahrscheinlich genauer als die erste, da sie zwei Absolutwerte (Pi und 2) verwendet, im Gegensatz zur ersten Gleichung, die nur einen (360°) verwendet. Daher ist es wahrscheinlicher, dass die erste Antwort nicht so genau ist, da sie zwei Variablen enthält, die eine Messung erfordern und anfällig für menschliche Fehler sind.

Analyse und Schlussfolgerung (Teil B)

Tabelle 2
Winkel GFH: 61°
Winkel IFH: 29°
Gemessene Länge, Bogen EF: 2,0 cm
Entfernung, E nach F (km): 3600km

1)
(Abstand EF)/Umfang = (Winkel IFH )/(360°) 1/Umfang = (Winkel IFH )/(360° (Abstand EF))

Umfang = (360° (3600 km) )/(29°) Umfang = 44689,65 km

%= (| tatsächlicher Umfang-Ans.| )/(tatsächlicher Umfang) x 100 %= (|40.000km-44689,65km|)/40.000km x 100


Vermessung der Erde

Eratosthenes gilt als Erfinder der Geographie, insbesondere weil er das System der Breiten- und Längslinien zur Kartierung der Welt entwickelte. Er berechnete die Neigung der Erde mit bemerkenswerter Genauigkeit, maß aber auch die Entfernung zwischen Erde und Mond ungenau. Der bekannteste Meilenstein von Eratosthenes war seine beeindruckende Berechnung des Erdumfangs. Als Eratosthenes feststellte, wie die Größe der Erde berechnet werden sollte, wurde er auf einen Brunnen in Syene (dem heutigen Assuan, Ägypten) aufmerksam, wo die Sonne während der Sommersonnenwende das Wasser am Boden beleuchtete, aber nicht die Wände des Brunnens. was darauf hinweist, dass die Sonne direkt über ihnen stand. Syene liegt auf einem Breitengrad von 24°05′ Nord, in der Nähe des Wendekreises des Krebses, dem nördlichsten Breitengrad, wenn die Sonne direkt über ihnen steht.


Eratosthenes Berechnung des Erdumfangs s - Geschichte

Die Idee, dass die Erde eine Kugel ist, wurde erstmals um 500 v. Chr. von einem anderen antiken griechischen Mathematiker, Pythagoras, eingeführt und etwa 200 Jahre später von Aristoteles bestätigt

Ein interessantes Business Insider-Video zeigt, wie der antike griechische Mathematiker Eratosthenes vor über 2.000 Jahren den Erdumfang berechnete.

Mit einem Stab berechnete Eratosthenes, dass der Erdumfang ungefähr 40.030 km beträgt, eine Zahl, die Wissenschaftler Mitte des 20.

Eratosthenes, der Leiter der Bibliothek von Alexandria, hatte gehört, dass in Syene, einer Stadt südlich von Alexandria, zur Mittagszeit zur Sommersonnenwende keine vertikalen Schatten geworfen wurden. Die Sonne stand direkt über ihnen. Er fragte sich, ob das auch in Alexandria passierte.

Also pflanzte er am 21. Juni einen Stock direkt in die Erde und wartete, ob mittags ein Schatten geworfen würde. Tatsächlich gab es einen und er maß ungefähr 7 Grad.

Eratosthenes muss geglaubt haben, dass die Erdoberfläche gekrümmt ist, bevor er diesen Test durchführte. Aus diesem Grund wollte er wahrscheinlich bestätigen, dass, wenn die Sonnenstrahlen zur gleichen Tageszeit im gleichen Winkel einfallen und ein Stock in Alexandria einen Schatten wirft, ein Stock in Syene nicht, dies bedeuten muss, dass die Erde Oberfläche ist gewölbt.

Die Idee, dass die Erde eine Kugel ist, wurde erstmals um 500 v. Chr. Von einem anderen antiken griechischen Mathematiker, Pythagoras, eingeführt und etwa 200 Jahre später von Aristoteles bestätigt. So stellte sich heraus, dass er den Umfang der gesamten Kugel abschätzen konnte.

Basierend auf der Schattenlänge von 7 Grad in Alexandria und 0 Grad in Syene berechnete Eratosthenes, dass die beiden Städte auf der 360-Grad-Oberfläche der Erde 7 Grad voneinander entfernt sind. Dann heuerte er einen Mann an, der die Entfernung zwischen den beiden Städten abschritt und erfuhr, dass sie 5.000 Stadien voneinander entfernt waren, was etwa 800 Kilometern entspricht.

Eratosthenes fuhr dann fort, den Erdumfang zu bestimmen – 7,2 Grad ist 1/50 von 360 Grad, also 800 mal 50 entspricht 40.000 Kilometern. Auf diese Weise fand er mit nur einem Stock und seinem Gehirn den fast genauen Umfang des Planeten.


Eratosthenes und der Umfang der Erde

Eratosthenes von Kyrene war ein griechischer Mathematiker, Geograph, Dichter, Astronom und Musiktheoretiker. Er war ein gelehrter Mann und wurde Chefbibliothekar der Bibliothek von Alexandria. Er erfand die Disziplin der Geographie, einschließlich der heute verwendeten Terminologie. Er ist vor allem dafür bekannt, dass er der erste Mensch war, der den Umfang der Erde berechnete.

“Eratosthenes von Kyrene entdeckte anhand mathematischer Theorien und geometrischer Methoden aus dem Lauf der Sonne die Schatten, die ein Äquinoktialgnomon wirft, und die Neigung des Himmels, dass der Umfang der Erde zweihundertzweiundfünfzigtausend Stadien beträgt, das heißt, einunddreißig Millionen fünfhunderttausend Schritte.”
– Vitruv, De Architectura, Buch 1, Kap 6, Sek. 9

Eratosthenes von Kyrene – Frühe Jahre

Der Sohn von Aglaos, Eratosthenes, wurde 276 v. Chr. in Kyrene geboren. Kyrene, jetzt Teil des heutigen Libyen, war unter ptolemäischer Herrschaft im 4. und 3. Jahrhundert v. Chr. zu einem Ort der Kultivierung geworden, an dem das Wissen blühte. Wie jeder junge Grieche hätte Eratosthenes in der örtlichen Turnhalle studiert, wo er körperliche Fähigkeiten und sozialen Diskurs sowie Lesen, Schreiben, Rechnen, Poesie und Musik erlernt hätte. Zu seinen Lehrern gehörten der Gelehrte Lysanias von Kyrene und der Philosoph Ariston von Chios, der bei Zeno, dem Begründer der stoischen Philosophieschule, studiert hatte. Eratosthenes studierte auch bei dem ebenfalls in Kyrene geborenen Dichter und Gelehrten Callimachos. Anschließend verbrachte Eratosthenes einige Jahre in Athen, um zu studieren.[1]

Philosophie und Geschichte

Sein Interesse an Platon führte ihn dazu, sein allererstes Werk auf wissenschaftlichem Niveau zu schreiben. Platonikos, die die mathematischen Grundlagen von Platons Philosophien untersucht. Eratosthenes war ein Mann mit vielen Perspektiven und erforschte die Dichtkunst unter Kallimachus. Er war ein talentierter und fantasievoller Dichter. Als Historiker beschloss Eratosthenes, an einer systematischen Chronographie der bekannten Welt zu arbeiten, indem er die Daten literarischer und politischer Ereignisse von der Belagerung Trojas bis zu seiner Zeit ermittelte. Diese Arbeit wurde wegen ihrer Genauigkeit sehr geschätzt. George Syncellus konnte später vor Chronographien eine Liste von 38 Königen des ägyptischen Theben. Eratosthenes hat auch geschrieben Olympiasieger, eine Chronologie der Gewinner der Olympischen Spiele.

Die Bibliothek von Alexandria

Die Bibliothek in Alexandria wurde von Ptolemaios I. Soter (ca. 367 v. Chr. – 283/2 v. Chr.) geplant und das Projekt wurde unter seinem Sohn Ptolemaios II. Ptolemaios II. Philadelphus ernannte einen der Eratosthenes’-Lehrer, Callimachos, zum zweiten Bibliothekar. Als Ptolemaios III. Euergetes 245 v. Chr. die Nachfolge seines Vaters antrat, überredete er Eratosthenes, als Erzieher seines Sohnes Philopator nach Alexandria zu gehen. Nach dem Tod von Kallimachus um 240 v. Chr. wurde Eratosthenes der dritte Bibliothekar in Alexandria, in der Bibliothek in einem Musentempel namens Mouseion.

Astronomische Forschung

Eratosthenes leistete mehrere wichtige Beiträge zur Mathematik und Wissenschaft und war ein Freund von Archimedes.[5] Um 255 v. Chr. erfand er die Armillarsphäre. Eine Armillarsphäre ist ein Modell von Objekten am Himmel (in der Himmelssphäre), das aus einem kugelförmigen Rahmen von Ringen besteht, die auf der Erde oder der Sonne zentriert sind und Linien der himmlischen Länge und Breite und andere astronomisch wichtige Merkmale wie die Ekliptik darstellen . In On die Kreisbewegungen der Himmelskörper, schrieb Cleomedes ihm zu, den Erdumfang um 240 v.

Der Umfang der Erde

Eratosthenes berechnete den Erdumfang, ohne Ägypten zu verlassen. Er wusste, dass die Sonne zur Mittagszeit der Sommersonnenwende in Syene (dem heutigen Assuan, Ägypten) direkt über ihm stand. Er wusste das, weil der Schatten von jemandem, der damals in Syene in einen tiefen Brunnen schaute, die Reflexion der Sonne auf dem Wasser blockierte. Er maß am Mittag desselben Tages in Alexandria den Elevationswinkel der Sonne. Die Messmethode bestand darin, eine maßstabsgetreue Zeichnung dieses Dreiecks anzufertigen, das einen rechten Winkel zwischen einem vertikalen Stab und seinem Schatten einschloss. Dies stellte sich als 1/50 eines Kreises heraus. Er nahm die Erde als kugelförmig an und kannte sowohl die Entfernung als auch die Richtung von Syene und kam zu dem Schluss, dass der Umfang der Erde das Fünfzigfache dieser Entfernung betrug. Sein Wissen über die Größe Ägyptens basiert auf der Arbeit vieler Generationen von Vermessungsreisen. Pharaonische Buchhalter gaben einen Abstand zwischen Syene und Alexandria von 5.000 Stadien an (ein Wert, der jährlich überprüft wurde). Einige behaupten, Eratosthenes habe das Olympiastadion von 176,4 m verwendet, was einen Umfang von 44.100 km bedeuten würde, ein Fehler von 10%.

Illustration zur Berechnung des Erdumfangs

Das Sieb des Erathosthenes

Eratosthenes arbeitete auch an Primzahlen. Er ist bekannt für sein Primzahlensieb, das ‘ Sieb des Eratosthenes ‘, das in modifizierter Form immer noch ein wichtiges Werkzeug in der zahlentheoretischen Forschung ist. Das Sieb erscheint in der Einführung in die Arithmetik von Nikomedes.[1] Während Eratosthenes Originalwerk über seine überraschend genaue Messung verloren geht, tauchen einige Details dieser Berechnungen in Werken anderer Autoren wie Kleomedes, Theon von Smyrna und Strabo auf. erarbeitete einen Kalender mit Schaltjahren und legte den Grundstein für eine systematische Chronographie der Welt, als er versuchte, die Daten literarischer und politischer Ereignisse aus der Zeit der Belagerung Trojas anzugeben. Er soll auch einen Sternenkatalog mit 675 Sternen zusammengestellt haben.[1]

Kartographie

Eratosthenes entwickelte auch eine Technik zur Kartierung der Erdoberfläche. Er teilte die ihm bekannte Welt in eine nördliche und eine südliche Teilung mit einer Ost-West-Linie, die parallel zum Äquator durch die Insel Rhodos verläuft und das Mittelmeer halbiert. Er fügte eine zweite Nord-Süd-Linie hinzu, die im rechten Winkel durch Alexandria verläuft. Eratosthenes zeichnete zusätzliche Ost-West- und Nord-Süd-Linien auf seiner Karte, aber anstatt diese Linien in regelmäßigen Abständen hinzuzufügen, zog er sie durch berühmte Orte: Meroë (die Hauptstadt der alten äthiopischen Könige), die Säulen des Herkules, Sizilien, der Euphrat, die Mündung des Indus und die Spitze der indischen Halbinsel.[4]

Erbe

Eratosthenes litt im hohen Alter an Blindheit und soll sich durch freiwilligen Hungertod umgebracht haben.[2] Eratosthenes war der erste antike Gelehrte, der sich “Philologe” nannte. Mit Philologie meinte er nicht nur das Studium der Sprach- und Literaturwissenschaft, sondern im weiteren Sinne eine vielseitige Wissenschaft. Kennzeichnend für seine unvoreingenommene Haltung zu tief verwurzelten Überzeugungen ist seine Dichterkritik, die auch die höchste Autorität wie Homer nicht verschonte. Er billigte die Wahrhaftigkeit der Beschreibungen der Dichter nicht, da ihr Ziel nur Unterhaltung und nicht Unterricht war. Trotz seines Ruhms und seiner außergewöhnlichen Gelehrsamkeit wurde Eratosthenes nicht zum Gründer einer eigenen Schule. Von den vier Personen, die in Suda als seine Schüler genannt werden, sind drei nicht sicher zu identifizieren und daher kaum bedeutende Wissenschaftler. Der vierte ist der bekannte Grammatiker Aristophanes von Byzanz, der Eratosthenes als Leiter der Bibliothek von Alexandria nachfolgte.

Bei yovisto academic video search erfahren Sie mehr über das “Sieve of Eratosthenes”, seinen Algorithmus zur Bestimmung von Primzahlen im Vortrag von Manindra Agrawal über “The History of Primes”.


Frage zum Aufwärmen:
Wie könnten Sie herausfinden, wie weit es um die ganze Welt entfernt ist, ohne dieses Land zu verlassen?


Einführung
Um 250 v ein senkrechter Mast würde keinen Schatten werfen. Eratosthenes, der in Alexandria lebte, hörte davon von einem Reisenden. So bemerkte er am selben Tag, in einem anderen Jahr, dass in Alexandria, etwa 800 Kilometer (km) entfernt, ein senkrechter Mast einen Schatten warf. Aus diesen Beobachtungen zog er zwei Schlussfolgerungen:

B. die erste Abschätzung für den Erdumfang gefunden.

Die Erde ist kugelförmig
Er maß den Winkel, den die Stange und eine Linie bilden, die die Spitze des Schattens und die Spitze der Stange verbindet (siehe Abbildung 1) und stellte fest, dass der Winkel ungefähr 7 ° betrug. Dann nahm er an, dass die Lichtstrahlen von der Sonne zur Erde im Wesentlichen parallel waren, da die Sonne so weit entfernt und die Erde im Verhältnis zur Sonne so klein war. Daraus und aus seinen Beobachtungen in Alexandria und Syrene schloss er, dass die Erde gekrümmt sein muss (siehe Abbildung 2) und daher kugelförmig sein muss.

Mit Mathematik den Umfang der Erde ermitteln
Als nächstes nutzte er all diese Informationen, um die erste annähernd genaue Schätzung des Erdumfangs zu erhalten. So geht's: In der (nicht maßstabsgetreuen) Abbildung 3

EIN bezeichnet die Basis des Pols in Alexandria
S die Basis eines Pols in Syrene
T die Spitze des Schattens, den der Pol in Alexandria wirft
P die Spitze des gleichen Pols
E der Mittelpunkt der Erde.


Winkel GEEIGNET wurde mit 7 o gemessen, also nach euklidischer Geometrie Innenwinkel und sind gleich, also Winkel .

Es gibt 360 o in einem vollständigen Kreis, also der Teil des Erdumfangs zwischen EIN und S ist

, was ungefähr (oder ungefähr 50) ist.

Die Entfernung von Alexandria nach Syrene beträgt 800 km, also schloss er, dass der Erdumfang sein muss!

Diese Schätzung kommt modernen genauen Messungen sehr nahe, so dass Eratosthenes die erste Berechnung der Größe der Erde zugeschrieben wird.

Wir können eine etwas andere Antwort erhalten, wenn wir genauer rechnen:


Einige Formeln, die Sie benötigen (r = Radius des Kreises / der Kugel)

Umfang eines Kreises:

Frage 1: Welchen Radius hat die Erde?
Verwenden Sie Eratosthenes&rsquo-Schätzung für den Umfang der Erde, um ihren Radius zu bestimmen. (Runde deine Antwort auf 1 Dezimalstelle.)

Frage 2: Welches Volumen hat die Erde?
Verwenden Sie Ihre Antwort auf Frage 1, um das Volumen der Erde zu berechnen. (Runde deine Antwort auf 3 Dezimalstellen.)

Hier einige Folgeübungen:

Dieses Material basiert auf Arbeiten, die von der National Science Foundation unter Grant GEO-0355224 unterstützt wurden. Alle Meinungen, Ergebnisse und Schlussfolgerungen oder Empfehlungen in diesem Material sind die der Autoren und spiegeln nicht unbedingt die Ansichten der National Science Foundation wider.


Eratosthenes Berechnung des Erdumfangs

Die Beobachtungen wurden am Mittag der Sommersonnenwende gemacht, dem längsten Tag, an dem die Sonne im Zenit stand und direkt über dem Wendekreis des Krebses stand.

Es war bekannt, dass die Sonne genau in diesem Moment auf einen Brunnen in der Nähe des Wendekreises des Krebses bei . schien Syene im Süden des alten Ägypten (heute Assuan) das Wasser darunter erhellt und keinen Schatten hinterlässt.

Im gleichen Moment, at Alexandria im Norden Ägyptens, ungefähr auf demselben Meridian, würde die Sonne im Zenit tiefer am Himmel erscheinen und einen Schatten von einem vertikalen Stab oder Pfosten im Boden werfen. Der Winkel dieses Schattens gibt den Breitenunterschied zwischen Syene und Alexandria an und wurde mit einem Gnomon, dem Teil einer Sonnenuhr, der den Schatten wirft, mit 7,2 Grad gemessen.

Er nahm an, dass die Sonne so weit entfernt war, dass die Sonnenstrahlen parallel waren und die Erde kugelförmig war.

Die Entfernung zwischen Syene und Alexandria wurde von Reisenden auf 5000 Stadien geschätzt (788 bis 925 km - Siehe Genauigkeit unten), wobei das Stadion oder Stade die typische Maßeinheit der Griechen zu dieser Zeit war.

Einige sagen, die Entfernung von 5000 Stadien zwischen Syrene und Alexandria basierte auf Berichten von Reisenden, denen zufolge Kamele 50 Tage brauchten, um die Reise von Alexandria nach Syene zurückzulegen, und dass ein Kamel 100 Stadien pro Tag zurücklegte. Andere behaupten, dass Militärvermesser oder Bematisten die Entfernung berechnet haben, indem sie die Schritte entlang der Route zählten. Beide Messungen würden die Entfernung tendenziell überschätzen, da sie der allgemeinen Kontur des Nils gefolgt wären, die eher unregelmäßig als geradlinig ist. Die Entfernung zwischen Syene und Alexandria beträgt 729 km.

Abgesehen von der (Un-)Genauigkeit der Schätzungen gab es keine Standardisierung der Maßeinheiten und mehrere Werte/Definitionen des Stadions wurden zu dieser Zeit verwendet, von der Länge von Sprintrennen in Sportstadien bis hin zu der während eines Marsches zurückgelegten Strecke von einer Minute, was zu einiger Verwirrung hinsichtlich der genauen Entfernungen führt.

Die Syrene und Alexandria liegen nicht auf demselben Meridianbogen. Es gibt einen Unterschied von etwa 3 Grad.

Syene liegt nicht am Wendekreis des Krebses, sondern liegt 55 km weiter nördlich

Der Schattenwinkel beträgt nicht 7°12' sondern 7° 5'

Unter Verwendung des ägyptischen Maßes von 157,5 Metern/Stadium beträgt der Eratosthenes-Fehler bei der Schätzung des Umfangs nur 1,6% vom wahren Wert von 40.008 km. Bei Verwendung des attischen (griechischen) Maßes von 185 Metern/Stadion beträgt der Fehler 16%.

Eratosthenes nutzte den Winkelunterschied der Breite zweier Punkte auf demselben Meridian und den entsprechenden linearen Abstand zwischen den Punkten, um den Abstand auf der Erdoberfläche pro Breitengrad zu bestimmen. Daraus berechnete er den Umfang, den er auf 250.000 Stadien feststellte (39.375 km bis 46.250 km je nach Umrechnungsverhältnis von Stadien in km).

Dies vergleicht sich mit dem wahren Wert von 40.008 km für den Umfang um die Pole.



Bemerkungen:

  1. Garvin

    Die falschen Daten für Sie

  2. Domenico

    Sie liegen falsch. Ich kann es beweisen. Schicken Sie mir eine PN per PN, wir besprechen das.

  3. Vurg

    Danke für das Wunder)))

  4. Dax

    Ich glaube, ich mache Fehler. Lassen Sie uns versuchen, dies zu besprechen. Schreiben Sie mir in PM, es spricht mit Ihnen.



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